I denne afhandling definerer vi modulirummet af flade konnektioner over en flade med punkteringer og en vægt i hver punktering. Vi definerer forskellige modulirum, blandt andet ved brug af Sobolev rum og parabolske bundter, som er diffeomorfe til modulirummet af flade konnektioner, på den glatte del. Formålet med denne thesis er at finde en Hitchin konnektion i denne setting, med så få antagelser på vægtene som muligt. Vi bruger den generelle konstruktion af Hitchin konnektionen i metaplektisk korrektion af Andersen, Gammelgård og Roed, til at finde en sådan Hitchin konnektion.